Question

14．在△ABC中，AD為BC邊上的高，且AD=BC，b，c分別表示角B，C所對(duì)的邊長(zhǎng)，則$\frac{c}$的最大值是（　�。�

• A． 2
• B． $\frac{\sqrt{5}+1}{2}$
• C． $\sqrt{5}$
• D． $\frac{\sqrt{5}+3}{2}$

Answer 1

分析 由三角形的面積公式和余弦定理列出方程，利用兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)后，由正弦函數(shù)的性質(zhì)將方程轉(zhuǎn)化為不等式，設(shè)$\frac{c}$=t代入不等式求出解集，即可得到答案．

解答 解：∵AD是BC邊上的高，且AD=BC=a，
∴△ABC的面積S=$\frac{1}{2}×a×\frac{1}{2}a=\frac{1}{2}bcsinA$，則a²=bcsinA，
由余弦定理得，a²=b²+c²-2bccosA，
化簡(jiǎn)得b²+c²-bc（sinA+2cosA）=0，
兩邊同除bc得，sinA+2cosA=$\frac{c}+\frac{c}$，
∵sinA+2cosA=$\sqrt{5}sin（A+α）$$≤\sqrt{5}$（其中tanα=2），
∴$\frac{c}+\frac{c}$$≤\sqrt{5}$，設(shè)$\frac{c}$=t（t＞0），則$t+\frac{1}{t}≤\sqrt{5}$，
即${t}^{2}-\sqrt{5}t+1≤0$，解得$\frac{\sqrt{5}-1}{2}≤$t$≤\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，
∴$0＜t≤\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，則$\frac{c}$$≤\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，
∴$\frac{c}$的最大值是$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查正弦定理、余弦定理，兩角和的正弦公式，以及正弦函數(shù)的性質(zhì)和換元法，考查化簡(jiǎn)、變形能力，屬于中檔題．