Question

10．設(shè)全集為R，已知A={x|2＜x≤3}，B={x|a≤x≤3a}
（1）若A∪B=B，求實數(shù)a的取值范圍
（2）若（∁_RA）∩B=B，求實數(shù)a的取值范圍．
（3）若A∩B=∅，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由A∪B=B，可得A⊆B，然后由兩集合端點值間的關(guān)系列不等式得答案；
（2）求出∁_RA，由（∁_RA）∩B=B，得B⊆∁_RA，然后分B是空集和非空求解；
（3）分B=∅和B≠∅分類求解，當B≠∅時，由兩集合端點值間的關(guān)系列不等式得答案．

解答 解：全集為R，已知A={x|2＜x≤3}，B={x|a≤x≤3a}．
（1）若A∪B=B，則$\left\{\begin{array}{l}{a≤2}\\{3a≥3}\end{array}\right.$，解得1≤a≤2，∴實數(shù)a的取值范圍是[1，2]；
（2）∁_RA={x|x≤2或x＞3}，若（∁_RA）∩B=B，則B⊆∁_RA，
若a＜0，B=∅，滿足B⊆∁_RA；
若a≥0，要使B⊆∁_RA，則$\left\{\begin{array}{l}{a≥0}\\{3a≤2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a≥0}\\{a＞3}\end{array}\right.$，解得$0≤a≤\frac{2}{3}$或a＞3．
∴實數(shù)a的取值范圍為（-∞，$\frac{2}{3}$]∪（3，+∞）；
（3）當a＜0時，B=∅，A∩B=∅；
當B≠∅時，要使A∩B=∅，則$\left\{\begin{array}{l}{a≥0}\\{a＞3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a≥0}\\{3a≤2}\end{array}\right.$，解得0$≤a≤\frac{2}{3}$或a＞3．
∴實數(shù)a的取值范圍是（-∞，$\frac{2}{3}$]∪（3，+∞）．

點評 本題考查交、并、補集的混合運算，考查了集合間的包含關(guān)系應(yīng)用，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，是中檔題．