Question

9．如圖在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E為BB₁的中點(diǎn)，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)，G為AB的中點(diǎn)．求證：平面AED⊥平面A₁FG．

Answer 1

分析 以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明平面AED⊥平面A₁FG．

解答 證明：以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中棱長(zhǎng)為2，
則A（2，0，0），E（2，2，1），G（2，1，0），F(xiàn)（0，1，0），A₁（2，0，2），
$\overrightarrow{AE}$=（0，2，1），$\overrightarrow{F{A}_{1}}$=（2，-1，2），$\overrightarrow{FG}$=（2，0，0），
$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{F{A}_{1}}$=0-2+2=0，∴AE⊥FA₁，
$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{FG}$=0，∴AE⊥FG，
∵FG∩FA₁=F，∴AE⊥平面A₁FG，
∵AE?平面AED，∴平面AED⊥平面A₁FG．

點(diǎn)評(píng) 本題考查面面垂直的證明，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．