Question

17．當x∈（-∞，1]，不等式$\frac{{1+{2^x}+{4^x}•a}}{{{a^2}-a+1}}$＞0恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為a＞$-\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 容易知道分母恒大于0，得到分子要恒大于0．

解答 解：${a}^{2}-a+1=（a-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{3}{4}＞0$，
∴1+2^x+4^xa＞0，設t=2^x，因為x∈（-∞，1]，所以0＜t≤2．
y=1+t+at²，要使y＞0恒成立，即y=1+t+at²＞0，所以$；a＞-\frac{1+t}{{t}^{2}}$．
設$；f（t）=-（\frac{1}{t}）^{2}-\frac{1}{t}$，則$；f（t）=-（\frac{1}{t}+\frac{1}{2}）^{2}+\frac{1}{4}$，因為0＜t≤2，所以$\frac{1}{t}≥\frac{1}{2}$，
所以$；{y}_{max}=-\frac{3}{4}$，所以a＞-$-\frac{3}{4}$．
故答案為：（-$\frac{3}{4}$，+∞）．

點評 本題考查了與指數(shù)函數(shù)有關的復合函數(shù)的最值問題，通過換元，將函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)，是解決本題的關鍵，對應不等式恒成立問題通常是轉(zhuǎn)化為含參問題恒成立，即求函數(shù)的最值問題