Question

10．若圓C：（x-1）²+（y-2）²=1關(guān)于直線2ax+by+2=0對(duì)稱，則由點(diǎn)（a，b）向圓C所作切線長(zhǎng)的最小值為（　�。�

• A． 1
• B． $\sqrt{2}$
• C． $\sqrt{5}$
• D． $\sqrt{7}$

Answer 1

分析 由已知得圓心C（1，2）在直線2ax+by+2=0上，從而b=-a-1，點(diǎn)（a，b）向圓所作的切線長(zhǎng)為$\sqrt{（a-1）^{2}+（b-2）^{2}-1}$，由此能求出點(diǎn)（a，b）向圓所作的切線長(zhǎng)的最小值．

解答 解：∵圓C：（x-1）²+（y-2）²=1關(guān)于直線2ax+by+2=0對(duì)稱，
∴圓心C（1，2）在直線2ax+by+2=0上，
∴2a+2b+2=0，即b=-a-1，
點(diǎn)（a，b）向圓所作的切線長(zhǎng)為：
$\sqrt{（a-1）^{2}+（b-2）^{2}-1}$
=$\sqrt{{a}^{2}-2a+1+（-a-3）^{2}-1}$
=$\sqrt{{a}^{2}-2a+{a}^{2}+6a+9}$
=$\sqrt{2{a}^{2}+4a+9}$
=$\sqrt{2（a+1）^{2}+7}$，
∴當(dāng)a=-1時(shí)，點(diǎn)（a，b）向圓所作的切線長(zhǎng)取得最小值$\sqrt{7}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查切線長(zhǎng)的最小值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意圓的性質(zhì)、兩點(diǎn)間距離公式的合理運(yùn)用．