Question

已知函數(shù)f（x）=e^x+2x²-3x．
（Ⅰ）求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f （1））處的切線方程；
（Ⅱ）當(dāng)x≥1時(shí)，若關(guān)于x的不等式f（x）≥x²+（a-3）x+1恒成立，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解：（I）f′（x）=e^x+4x-3則f'（1）=e+1，又f（1）=e-1
∴曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f （1））處的切線方程為y-e+1=（e+1）（x-1）
即（e+1）x-y-2=0
（II）由f（x）≥x²+（a-3）x+1得
e^x+2x²-3x≥x²+（a-3）x+1即ax≤e^x-x²-1
∵x≥1∴a≤
記g（x）=，則g'（x）=
記φ（x）=e^x（x-1）-x²+1則φ′（x）=x（e^x-1）
∵x≥1，φ′（x）＞0，∴φ（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增
∴g（x）≥φ（1）=＞0
∴g'（x）＞0，∴g（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增
∴g（x）≥g（1）=e-
由a≤g（x）恒成立，得a≤g（x）_min，
∴a≤e-即a的取值范圍是（-∞，e-]
分析：（I）欲求在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程，只須求出其斜率的值即可，故先利用導(dǎo)數(shù)求出在x=1處的導(dǎo)函數(shù)值，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率．從而問(wèn)題解決；
（II）關(guān)于x的不等式f（x）≥x²+（a-3）x+1恒成立將a分離出來(lái)，然后利用導(dǎo)數(shù)研究不等式另一側(cè)函數(shù)在[1，+∞）上的最值，即可求出所求．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，以及恒成立問(wèn)題，解決此類問(wèn)題的方法是將參數(shù)a進(jìn)行分離，屬于中檔題．