Question

18．曲線y=$\frac{1}{x}$在點(diǎn)（a，$\frac{1}{a}$）處的切線與兩個坐標(biāo)圍成的三角形的面積為（　�。�

• A． 2
• B． 4
• C． 6
• D． 和a的取值有關(guān)

Answer 1

分析 求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率，可得切線的方程，求得x，y軸的截距，運(yùn)用三角形的面積公式，計算即可得到所求值．

解答 解：由題意，y=$\frac{1}{x}$的導(dǎo)數(shù)為y′=-$\frac{1}{{x}^{2}}$，
可得在點(diǎn)（a，$\frac{1}{a}$）處的切線斜率為-$\frac{1}{{a}^{2}}$，
即有切線的方程為y-$\frac{1}{a}$=-$\frac{1}{{a}^{2}}$（x-a）．
令x=0，可得y軸上的截距為$\frac{2}{a}$；
y=0可得x軸上的截距為2a．
即有圍成的三角形的面積為$\frac{1}{2}$×2a×$\frac{2}{a}$=2．
故選：A．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的方程，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及直線方程的運(yùn)用，正確求導(dǎo)是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．