【題目】如圖，三棱柱中，側(cè)棱平面，為等腰直角三角形，，且分別是的中點(diǎn)．

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求銳二面角的余弦值．

【答案】（Ⅰ）見(jiàn)解析；（Ⅱ）；

【解析】

試題分析：（1）要證明平面，需證明及，前面在平面中證明，利用勾股定理，即通過(guò)計(jì)算設(shè)，則.∴，∴.后者通過(guò)線面垂直與線線垂直的轉(zhuǎn)化得，即由面面，得面，再得。（2）求二面角的余弦值，可通過(guò)作、證、算，本題可過(guò)作,則為所求二面角的平面角.也可利用空間向量求，先建系，求出平面及平面的法向量，利用向量數(shù)量積求出兩法向量的夾角，最后根據(jù)二面角與向量夾角關(guān)系得出結(jié)論.

試題解析：（1）連結(jié)，∵是等腰直角三角形斜邊的中點(diǎn)，∴.

又三棱柱為直三棱柱，

∴面面，

∴面，. 2分

設(shè)，則.

∴，∴. 4分

又，∴平面. 6分

（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸建立直角坐標(biāo)系如圖，設(shè)，

則，

，. 8分

由（1）知，平面，

∴可取平面的法向量.

設(shè)平面的法向量為，

由

∴可取. 10分

設(shè)銳二面角的大小為，

則.

∴所求銳二面角的余弦值為. 12分

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）
已知曲線C的參數(shù)方程為 （t為參數(shù)），C在點(diǎn)（1，1）處的切線為l，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，則l的極坐標(biāo)方程為 ．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】對(duì)某種書籍每?jī)?cè)的成本費(fèi)（元）與印刷冊(cè)數(shù)（千冊(cè)）的數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值.

4.83

4.22

0.3775

60.17

0.60

-39.38

4.8

表中，.

為了預(yù)測(cè)印刷20千冊(cè)時(shí)每?jī)?cè)的成本費(fèi)，建立了兩個(gè)回歸模型：，.

（1）根據(jù)散點(diǎn)圖，你認(rèn)為選擇哪個(gè)模型預(yù)測(cè)更可靠？（只選出模型即可）

（2）根據(jù)所給數(shù)據(jù)和（1）中選擇的模型，求關(guān)于的回歸方程，并預(yù)測(cè)印刷20千冊(cè)時(shí)每?jī)?cè)的成本費(fèi).

附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，，…，，其回歸方程的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：，.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某大學(xué)餐飲中心為了了解新生的飲食習(xí)慣，在某學(xué)院大一年級(jí)名學(xué)生中進(jìn)行了抽樣調(diào)查，發(fā)現(xiàn)喜歡甜品的占.這名學(xué)生中南方學(xué)生共人。南方學(xué)生中有人不喜歡甜品.

（1）完成下列列聯(lián)表：

喜歡甜品

不喜歡甜品

合計(jì)

南方學(xué)生

北方學(xué)生

合計(jì)

（2）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，問(wèn)是否有的把握認(rèn)為“南方學(xué)生和北方學(xué)生在選用甜品的飲食習(xí)慣方面有差異”；

（3）已知在被調(diào)查的南方學(xué)生中有名數(shù)學(xué)系的學(xué)生，其中名不喜歡甜品；有名物理系的學(xué)生，其中名不喜歡甜品.現(xiàn)從這兩個(gè)系的學(xué)生中，各隨機(jī)抽取人，記抽出的人中不喜歡甜品的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.

附：.

0.15

0.100

0.050

0.025

0.010

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在正方形OABC中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（10，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，10），分別將線段OA和AB十等分，分點(diǎn)分別記為A1 ， A2 ， …，A9和B1 ， B2 ， …，B9 ， 連接OBi ， 過(guò)Ai作x軸的垂線與OBi ， 交于點(diǎn) ．

（1）求證：點(diǎn) 都在同一條拋物線上，并求拋物線E的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)C作直線l與拋物線E交于不同的兩點(diǎn)M，N，若△OCM與△OCN的面積之比為4：1，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】選修4﹣4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．已知點(diǎn)A的極坐標(biāo)為 ，直線l的極坐標(biāo)方程為 ，且點(diǎn)A在直線l上．
（1）求a的值及直線l的直角坐標(biāo)方程；
（2）圓C的參數(shù)方程為 ，試判斷直線l與圓C的位置關(guān)系．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某學(xué)校課題組為了研究學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)和物理成績(jī)之間的關(guān)系，隨機(jī)抽取高二年級(jí)20名學(xué)生某次考試成績(jī)（百分制）如下表所示：

序號(hào)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

數(shù)學(xué)成績(jī)

95

75

80

94

92

65

67

84

98

71

67

93

64

78

77

90

57

83

72

83

物理成績(jī)

90

63

72

87

91

71

58

82

93

81

77

82

48

85

69

91

61

84

78

86

若數(shù)學(xué)成績(jī)90分（含90分）以上為優(yōu)秀，物理成績(jī)85（含85分）以上為優(yōu)秀，則有多少把握認(rèn)為學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)與物理成績(jī)有關(guān)系（ ）

A. 95% B. 97.5% C. 99.5% D. 99.9%

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知A，B，C是橢圓W： 上的三個(gè)點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）當(dāng)點(diǎn)B是W的右頂點(diǎn)，且四邊形OABC為菱形時(shí)，求此菱形的面積；
（2）當(dāng)點(diǎn)B不是W的頂點(diǎn)時(shí)，判斷四邊形OABC是否可能為菱形，并說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某藝校在一天的6節(jié)課中隨機(jī)安排語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)三門文化課和其他三門藝術(shù)課各1節(jié)，則在課程表上的相鄰兩節(jié)文化課之間最多間隔1節(jié)藝術(shù)課的概率為（用數(shù)字作答）．

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同步練習(xí)冊(cè)答案