Question

19．如圖，四棱錐S-ABCD的底面是正方形，SA⊥底面ABCD，E是SC上一點．
（1）求證：BD⊥平面SAC；
（2）設SA=4，AB=2，求點A到平面SBD的距離．

Answer 1

分析 （1）由SA⊥平面ABCD得SA⊥BD，由正方形性質(zhì)得出AC⊥BD，于是BD⊥平面SAC．
（2）根據(jù)V_A-SBD=V_S-ABD列方程求出點A到平面SBD的距離．

解答 證明：（1）∵SA⊥底面ABCD，BD?平面ABCD，
∴SA⊥BD，
∵底面ABCD是正方形
∴AC⊥BD，
又SA?平面SAC，AC?平面SAC，SA∩AC=A，
∴BD⊥平面SAC．
（2）設AC，BD交與點O，連結(jié)SO．
∵正方形ABCD邊長為2，SA=4，
∴BD=2$\sqrt{2}$，OB=$\sqrt{2}$，SB=2$\sqrt{3}$，
∴SO=$\sqrt{S{B}^{2}-O{B}^{2}}$=$\sqrt{10}$．
S_△SBD=$\frac{1}{2}BD•SO$=$\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×\sqrt{10}$=2$\sqrt{5}$．
設A到平面SBD的距離為d，
則V_A-SBD=$\frac{1}{3}{S}_{△SBD}$•d=$\frac{2\sqrt{5}d}{3}$．
又V_A-SBD=V_S-ABD=$\frac{1}{3}{S}_{△ABD}•SA$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×{2}^{2}×4$=$\frac{8}{3}$，
∴$\frac{2\sqrt{5}d}{3}$=$\frac{8}{3}$，解得d=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$．
∴點A到平面SBD的距離為$\frac{4\sqrt{5}}{5}$．

點評 本題考查了線面垂直的判定，棱錐的體積計算，屬于基礎題．