已知函數(shù)f(x)=α(cos2x+sinxcosx)+b
(1)當(dāng)a>0時,求f(x)的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間
(2)當(dāng)a<0且x∈[0,
π
2
],f(x)的值域是[3,4],求a,b的值.
考點(diǎn):二倍角的余弦,二倍角的正弦,三角函數(shù)的周期性及其求法,正弦函數(shù)的單調(diào)性,三角函數(shù)的最值
專題:三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)
分析:(1)利用二倍角的正弦公式,將函數(shù)解析式化為f(x)=
2
a
2
sin(2x+
π
4
)+
a
2
+b,進(jìn)而根據(jù)正弦型函數(shù)的單調(diào)性和周期性,可得答案;
(2)x∈[0,
π
2
]時,2x+
π
4
∈[
π
4
,
4
],f(x)∈[
2
a
2
+
a
2
+b,b]=[3,4]進(jìn)而可得a,b的值.
解答: 解:(1)f(x)=α(cos2x+sinxcosx)+b=
a
2
(2cos2x+2sinxcosx)+b=
a
2
(cos2x+sin2x+1)+b=
a
2
[
2
sin(2x+
π
4
)+1]+b=
2
a
2
sin(2x+
π
4
)+
a
2
+b,
∵ω=2,
故函數(shù)的最小正周期T=π,
又∵a>0,由2x+
π
4
∈[
π
2
+2kπ,
2
+2kπ],(k∈Z)得:
x∈[
π
8
+kπ,
8
+kπ],(k∈Z)得:
故函數(shù)f(x)的遞減區(qū)間為[
π
8
+kπ,
8
+kπ],(k∈Z),
(2)當(dāng)a<0且x∈[0,
π
2
],2x+
π
4
∈[
π
4
4
],
sin(2x+
π
4
)∈[-
2
2
,1],
f(x)∈[
2
a
2
+
a
2
+b,b]=[3,4]
故a=2(
2
-1),b=3
點(diǎn)評:本題考查的知識點(diǎn)是正弦型函數(shù)的圖象和性質(zhì),二倍角的正余弦公式,難度不太大,屬于中檔題.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

某次活動中,有30個人排成6行5列,現(xiàn)要從中選出3人進(jìn)行禮儀表演,要求這3人任意2人不同行也不同列,則不同的選法種數(shù)為
 
(用數(shù)字作答).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

計(jì)算:
lim
x→0+
(sin
x+1
-sin
x
)=
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

下列四個條件中,p是q的充要條件條件的是
 

①p:a>b,q:a2>b2; ②p:a>b,q:2a>2b
③p:ax2+by2=c為雙曲線,q:ab<0;④p:ax2+bx+c>0,q:
c
x2
-
b
x
+a>0

⑤p:m<-2或m>6;q:y=x2+mx+m+3有兩個不同的零點(diǎn).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

a<0且-1<b<0是a+ab<0的( 。
A、必要不充分條件
B、充分不必要條件
C、充要條件
D、既不充分也不必要條件

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖A,B是單位圓O上的點(diǎn),點(diǎn)A是單位圓與x軸正半軸的交點(diǎn).點(diǎn)B在第二象限,∠AOB=θ,sinθ=
4
5

(Ⅰ)求B點(diǎn)坐標(biāo);
(Ⅱ)求sin(π-θ)+2sin(
π
2
-θ)的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)g(x)=
10x-1
10x+1
,x∈R,函數(shù)y=f(x)是函數(shù)y=g(x)的反函數(shù).
(1)求函數(shù)y=f(x)的解析式,并寫出定義域D;
(2)(理科)設(shè)h(x)=
1
x
-f(x),若函數(shù)y=h(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)的圖象是不間斷的光滑曲線,求證:函數(shù)y=h(x)在區(qū)間(-1,0)內(nèi)必有唯一的零點(diǎn)(假設(shè)為t),且-1<t<-
1
2

(文科)設(shè)函數(shù)h(x)=
1
x
-f(x),試判斷函數(shù)y=h(x)在區(qū)間(-1,0)上的單調(diào)性,并說明你的理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)全集U為R,已知A={x|0≤x≤6},B={x|f(x)=
8-x
}.
(Ⅰ)A∪B;
(Ⅱ)∁U(A∩B).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

“0<x<1”是“l(fā)og2(x+1)<1”的( 。
A、充分非必要條件
B、必要非充分條件
C、充分必要條件
D、既非充分也非必要條件

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