已知函數(shù)g(x)=
10x-1
10x+1
,x∈R,函數(shù)y=f(x)是函數(shù)y=g(x)的反函數(shù).
(1)求函數(shù)y=f(x)的解析式,并寫出定義域D;
(2)(理科)設(shè)h(x)=
1
x
-f(x),若函數(shù)y=h(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)的圖象是不間斷的光滑曲線,求證:函數(shù)y=h(x)在區(qū)間(-1,0)內(nèi)必有唯一的零點(diǎn)(假設(shè)為t),且-1<t<-
1
2

(文科)設(shè)函數(shù)h(x)=
1
x
-f(x),試判斷函數(shù)y=h(x)在區(qū)間(-1,0)上的單調(diào)性,并說明你的理由.
考點(diǎn):反函數(shù),函數(shù)解析式的求解及常用方法,函數(shù)零點(diǎn)的判定定理
專題:函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
分析:(1)由已知的等式求得10x=
1+y
1-y
,然后化指數(shù)式為對(duì)數(shù)式,x,y互換后得答案,同時(shí)注明函數(shù)的定義域?yàn)樵瘮?shù)的值域;
(2)(理)把h(x)=
1
x
-f(x)求導(dǎo)數(shù),由導(dǎo)函數(shù)在(-1,0)上恒小于0說明函數(shù)為減函數(shù),再由函數(shù)零點(diǎn)存在性定理證得答案;
(文)直接利用函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)小于0說明函數(shù)的單調(diào)性.
解答: (1)解:由y=
10x-1
10x+1
,(x∈R),得10x=
1+y
1-y

x=lg
1+y
1-y
,
∴f(x)=lg
1+x
1-x
(-1<x<1);

(2)證明:(理科)h(x)=
1
x
-f(x)=
1
x
-lg
1+x
1-x
,
h(x)=-
1
x2
-
1-x
1+x
•(
1+x
1-x
)
=-
1
x2
-
1-x
1+x
1-x+1-x
(1-x)2
=-
1
x2
-
2
1-x2

=
-1+x2-2x2
x2(1-x2)
=
-1-x2
x2(1-x2)
<0,
∴h(x)在(-1,0)上為減函數(shù),
又當(dāng)x→-1時(shí),h(x)>0;h(-
1
2
)=-2-lg
1-
1
2
1+
1
2
=-2-lg
1
3
=-2+lg3<0

∴函數(shù)y=h(x)在區(qū)間(-1,0)內(nèi)必有唯一的零點(diǎn)(假設(shè)為t),且-1<t<-
1
2


(文)h(x)=
1
x
-f(x)=
1
x
-lg
1+x
1-x
,
h(x)=-
1
x2
-
1-x
1+x
•(
1+x
1-x
)
=-
1
x2
-
1-x
1+x
1-x+1-x
(1-x)2
=-
1
x2
-
2
1-x2

=
-1+x2-2x2
x2(1-x2)
=
-1-x2
x2(1-x2)
<0,
∴h(x)在(-1,0)上為減函數(shù).
點(diǎn)評(píng):本題考查了函數(shù)的反函數(shù)的求法,考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,考查了函數(shù)零點(diǎn)存在性定理,是中檔題.
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已知函數(shù)f(x)=
|x3+1|,(|x|
&2sin
π
2
x,(|x|<1|
,則函數(shù)y=f(f(x))-1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是( 。
A、1B、2C、3D、4

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若等差數(shù)列{an}中,已知a1=
1
3
,a2+a5=4,an=35,則n=( 。
A、50B、51C、52D、53

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(1)當(dāng)a>0時(shí),求f(x)的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間
(2)當(dāng)a<0且x∈[0,
π
2
],f(x)的值域是[3,4],求a,b的值.

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f(x)=ax(x-1)(a≠0)圖象的頂點(diǎn)在函數(shù)y=log2x的圖象上,若h(x)=|f(x)|+m恰有2個(gè)零點(diǎn),求m的取值范圍.

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已知x2-3x+2>0的解集為P,關(guān)于不等式(x-1)(x+a)>0的解集為q,已知p是q的充分不必要條件,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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求:y=2x+
1-x2
的值域.

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設(shè)函數(shù)f(x)=x3-3x2+3x-1,則f(x)的反函數(shù)f-1(x)為(  )
A、f-1(x)=1+
3x
(x∈R)
B、f-1(x)=1+
3x-2
(x≥2)
C、f-1(x)=1-
3x
(x∈R)
D、f-1(x)=1-
3x-2
(x≥2)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如果函數(shù)f(x)=
2x-3(x>0)
f(x)(x<0)
是奇函數(shù),則f(-2)=
 

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