14.已知函數(shù)$f(x)=sin({wx+ϕ}),({w>0,|ϕ|<\frac{π}{2}})$,其相鄰兩個最高點之間的距離是π,且函數(shù)$f({x+\frac{π}{12}})$是偶函數(shù),下列判斷正確的是( 。
A.函數(shù)f(x)的最小正周期為2π
B.函數(shù)f(x)在$[{\frac{3π}{4},π}]$上單調(diào)遞增
C.函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線$x=-\frac{7π}{12}$對稱
D.函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點$({\frac{π}{12},0})$對稱-

分析 根據(jù)題意,求出函數(shù)f(x)的解析式,再判斷選項中的命題是否正確即可.

解答 解:函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)圖象的相鄰兩個最高點之間的距離是π,
∴函數(shù)f(x)的周期為T=π,A錯誤;
∵ω>0,∴ω=2,
∴函數(shù)f(x+$\frac{π}{12}$)的解析式為:
f(x)=sin[2(x+$\frac{π}{12}$)+φ]=sin(2x+$\frac{π}{6}$+φ),
又函數(shù)f(x+$\frac{π}{12}$)是偶函數(shù),
∴$\frac{π}{6}$+φ=kπ+$\frac{π}{2}$,k∈Z,
又|φ|<$\frac{π}{2}$,解得φ=$\frac{π}{3}$,
∴f(x)=sin(2x+$\frac{π}{3}$);
當(dāng)x∈$[{\frac{3π}{4},π}]$時,2x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{3π}{2}$+$\frac{π}{3}$,2π+$\frac{π}{3}$],f(x)是單調(diào)增函數(shù),B正確;
當(dāng)x=-$\frac{7π}{12}$時,2x+$\frac{π}{3}$=-$\frac{5π}{6}$,f(x)的圖象不關(guān)于直線$x=-\frac{7π}{12}$對稱,C錯誤;
當(dāng)x=$\frac{π}{12}$時,2x+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$,f(x)≠0,f(x)的圖象不關(guān)于點$({\frac{π}{12},0})$對稱,D錯誤.
故選:B.

點評 本題考查了求正弦型函數(shù)的解析式以及函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題,是綜合性題目.

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