Question

2．雙曲線與橢圓4x²+y²=1有相的焦點(diǎn)，它的一條漸近線方程是y=$\sqrt{2}$x，則這雙曲線的方程是4y²-2x²=1．

Answer 1

分析 將橢圓化成標(biāo)準(zhǔn)方程，可得焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0，±$\frac{\sqrt{3}}{2}$），因此設(shè)雙曲線方程為$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{x}^{2}}{^{2}}=1$，（a＞0，b＞0），由c²=a²+b²，根據(jù)漸近線方程建立關(guān)于a的等式，算出a和b的值即可得到該雙曲線的方程．

解答 解：由橢圓方程為：$\frac{{x}^{2}}{\frac{1}{4}}+{y}^{2}=1$，焦點(diǎn)在y軸上，焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0，±$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
設(shè)雙曲線方程為：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{x}^{2}}{^{2}}=1$，（a＞0，b＞0）
漸近線方程y=±$\frac{a}$x，
∴a=$\sqrt{2}$b，
∵c²=a²+b²，
∴$\frac{3}{4}$=2b²+b²，整理得：b²=$\frac{1}{4}$，a²=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{{y}^{2}}{\frac{1}{4}}-\frac{{x}^{2}}{\frac{1}{2}}=1$，
整理得：4y²-2x²=1，
故答案為：4y²-2x²=1．

點(diǎn)評 本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．著重考查了橢圓、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡單幾何性質(zhì)等知識，屬于基礎(chǔ)題．