Question

6．?dāng)?shù)列{a_n}中，若a_n+1=$\frac{n+2}{n}$a_n，a₁=2，則數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前2016項和為$\frac{2016}{2017}$．

Answer 1

分析 a₁=2，a_n+1=$\frac{n+2}{n}$a_n，可得$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=\frac{n+2}{n}$．利用“累乘求積”即可得出．

解答 解：∵a₁=2，a_n+1=$\frac{n+2}{n}$a_n，可得$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=\frac{n+2}{n}$．
∴a_n=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$•$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$•…•$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$•a₁
=$\frac{n+1}{n-1}$•$\frac{n}{n-2}$•$\frac{n-1}{n-3}$…•$\frac{4}{2}$•$\frac{3}{1}$•2
=n（n+1）．
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．
則數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前2016項和為：1$-\frac{1}{2}$$+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{2016}$$-\frac{1}{2017}$=$\frac{2016}{2017}$．
故答案為：$\frac{2016}{2017}$．

點評 本題考查了遞推關(guān)系、“累乘求積”的應(yīng)用，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．