Question

4．如圖，已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$，過原點(diǎn)的直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)（A，B不是橢圓C的頂點(diǎn)）．點(diǎn)D在橢圓C上，且AD⊥AB．設(shè)直線BD、AB的斜率分別為k₁、k₂，若$\frac{k_1}{k_2}=\frac{3}{4}$，則橢圓C的離心率為（　�。�

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• D． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$

Answer 1

分析 設(shè)A（x₁，y₁）（x₁y₁≠0），D（x₂，y₂），則B（-x₁，-y₁），運(yùn)用直線的斜率公式，由兩直線垂直的條件，可得AD的斜率，設(shè)直線AD的方程為y=kx+m（k、m≠0），代入橢圓方程，由韋達(dá)定理，結(jié)合直線的斜率公式可得BD的斜率，進(jìn)而得到$\frac{{k}_{1}}{{k}_{2}}=\frac{^{2}}{{a}^{2}}=\frac{3}{4}$，則橢圓離心率可求．

解答 解：設(shè)A（x₁，y₁）（x₁y₁≠0），D（x₂，y₂），則B（-x₁，-y₁），
∵k_AB=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$，AD⊥AB，∴直線AD的斜率k=-$\frac{{x}_{1}}{{y}_{1}}$，
設(shè)直線AD的方程為y=kx+m（k、m≠0），代入橢圓方程，
消去y整理得：（b²+a²k²）x²+2ma²k²x+a²m²-a²b²=0，
由韋達(dá)定理可知：x₁+x₂=-$\frac{2m{a}^{2}{k}^{2}}{^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}$，
∴y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2m=$\frac{2m^{2}}{^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}$，
由題可知：x₁≠-x₂，∴k₁=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{{x}_{1}+{x}_{2}}=-\frac{^{2}}{k{a}^{2}}$=$\frac{^{2}}{{a}^{2}}•\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}=\frac{^{2}}{{a}^{2}}•{k}_{2}$，
即有$\frac{{k}_{1}}{{k}_{2}}=\frac{^{2}}{{a}^{2}}=\frac{3}{4}$，
∴$\frac{{a}^{2}-{c}^{2}}{{a}^{2}}=1-\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{3}{4}$，得e=$\frac{1}{2}$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題是直線與橢圓的綜合題，考查橢圓的性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．