Question

17．在△ABC中，AB=5，AC=6，BC=7，S_△ABC=6$\sqrt{6}$，O是△ABC的內(nèi)心，若$\overrightarrow{OP}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$，其中0≤x≤1，0≤y≤1，則動點(diǎn)P的軌跡所覆蓋的面積是（　　）

• A． $\frac{{10\sqrt{6}}}{3}$
• B． $\frac{{5\sqrt{6}}}{3}$
• C． $\frac{10}{3}$
• D． $\frac{20}{3}$

Answer 1

分析 由題意可知動點(diǎn)P的軌跡為以O(shè)A，OB為鄰邊的平行四邊形ADBO的內(nèi)部（含邊界）．根據(jù)三角形的面積公式即可求得△ABC內(nèi)切圓半徑為r，求得△AOB的面積，

解答 解：$\overrightarrow{OP}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$，其中0≤x≤1，0≤y≤1，
∴動點(diǎn)P的軌跡為以O(shè)A，OB為鄰邊的平行四邊形ADBO的內(nèi)部（含邊界）．
AB=5，AC=6，BC=7，S_△ABC=6$\sqrt{6}$，
設(shè)△ABC內(nèi)切圓半徑為r，則$\frac{1}{2}$（5+6+7）r=6$\sqrt{6}$，
∴r=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$×AB×r=$\frac{1}{2}$×5×$\frac{2\sqrt{6}}{3}$=$\frac{5\sqrt{6}}{3}$，
∴動點(diǎn)P的軌跡所覆蓋的面積為：2S_△AOB=$\frac{10\sqrt{6}}{3}$，
故選A．

點(diǎn)評 本題考查三角形的面積公式，向量在幾何中的應(yīng)用，考查計算能力，屬于中檔題．