Question

已知函數(shù)f（x）=2^x-

1

2x

，且2^tf（2t）+mf（t）≥0對于t∈[1，2]恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：先將已知代入，然后進(jìn)行化簡（用到因式分解），然后將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題求解．

解答： 解：由f（x）=2^x-

1

2x

得2^tf（2t）+mf（t）≥0，
即2t(22t-

1

22t

)+m(2t-

1

2t

)≥0當(dāng)t∈[1，2]時恒成立．
即2t(2t+

1

2t

)(2t-

1

2t

)+m(2t-

1

2t

)≥0①在[1，2]上恒成立；
因為當(dāng)t在區(qū)間[1，2]上取值時，2^t＞1，所以2t-

1

2t

＞0．
所以①式可化為（2^t）²+m+1≥0恒成立，顯然當(dāng)t=1時（2^t）²+m+1取最小值，即5+m≥0，所以m≥-5．
故答案為m≥-5．

點(diǎn)評：本題考查了不等式的恒成立問題，一般轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題求解．