Question

20．在直角坐標系xOy中，以坐標原點為極點，x軸為極軸建立極坐標系，曲線C的參數方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=\sqrt{2}sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數），曲線M參數方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}cosθ}\\{y=\sqrt{2}sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數）．
（1）求曲線C、M的普通方程；
（2）若點A在橢圓C上，點B在直線ρsinθ=2上，且OA⊥OB，求直線AB與曲線M的位置關系，并證明你的結論．

Answer 1

分析 （1）根據參數方程用x，y表示出cosθ，sinθ，利用cos²θ+sin²θ=1消去參數θ，得到曲線的普通方程；
（2）假設A（2cosθ，$\sqrt{2}$sinθ），B（m，0），根據OA⊥OB求出m，計算|OA|，|OB|，|AB|，利用面積法求出O到直線AB的距離，與曲線M的半徑相比較得出結論．

解答 解：（1）∵曲線C的參數方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=\sqrt{2}sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數），
∴cosθ=$\frac{x}{2}$，sinθ=$\frac{y}{\sqrt{2}}$．
∴曲線C的普通方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$，
∵曲線M參數方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}cosθ}\\{y=\sqrt{2}sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數），
∴曲線M的普通方程為：x²+y²=2．
（2）直線ρsinθ的普通方程為y=2．
設A（2cosθ，$\sqrt{2}$sinθ），B（m，2）．
∵OA⊥OB，∴$\frac{\sqrt{2}sinθ}{2cosθ}×\frac{2}{m}=-1$，解得m=-$\sqrt{2}$tanθ．
∴|OA|=$\sqrt{4co{s}^{2}θ+2si{n}^{2}θ}$=$\sqrt{2+2co{s}^{2}θ}$，|OB|=$\sqrt{2ta{n}^{2}θ+4}$=$\sqrt{2}$$\sqrt{ta{n}^{2}θ+2}$．
|AB|=$\sqrt{（2cosθ+\sqrt{2}tanθ）^{2}+（\sqrt{2}sinθ-2）^{2}}$=$\sqrt{2}$$\sqrt{co{s}^{2}θ+ta{n}^{2}θ+3}$，
∵OA⊥OB，
∴O到直線AB的距離d=$\frac{|OA|•|OB|}{|AB|}$=$\frac{\sqrt{（2+2co{s}^{2}θ）}\sqrt{ta{n}^{2}θ+2}}{\sqrt{co{s}^{2}θ+ta{n}^{2}θ+3}}$=$\frac{\sqrt{2co{s}^{2}θ+2ta{n}^{2}θ+6}}{\sqrt{co{s}^{2}θ+ta{n}^{2}θ+3}}$=$\sqrt{2}$．
∵圓M的圓心為O，半徑為$\sqrt{2}$，
∴直線AB與圓M相切．

點評 本題考查了極坐標方程，參數方程與普通方程的互相轉化，直線與圓的位置關系判斷，屬于中檔題．