Question

8．在平面直角坐標系xOy中，⊙C經(jīng)過二次函數(shù)f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x²+2x-3）與兩坐標軸的三個交點．
（1）求⊙C的標準方程；
（2）設點A（-2，0），點B（2，0），試探究⊙C上是否存在點P滿足PA=$\sqrt{2}$PB，若存在，求出點P的坐標，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）設出圓的方程，分別令x=0，y=0，求出D、E、F的值，從而求出圓的標準方程即可；
（2）假設存在點P（x，y）滿足題意，得到關于x，y的方程組，求出P的坐標即可．

解答 解：（1）設所求圓的一般方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，
令y=0 得x²+Dx+F=0，這與x²+2x-3=0是同一個方程，故D=2，F(xiàn)=-3，…（3分）
令x=0 得y²+Ey=F=0，此方程有一個根為-3，代入得E=0，…（6分）
所以圓C 的標準方程為（x+1）²+y²=4．…（7分）
（Ⅱ）假設存在點P（x，y）滿足題意，
則PA²=2PB²，于是（x+2）²+y²=2（x-2）²+2y²，
化簡得（x-6）²+y²=32①．…（10分）
又因為點P在⊙C上，故滿足（x+1）²+y²=4②．
①②聯(lián)立解得點P的坐標為（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{7}}{2}$），（$\frac{1}{2}$，-$\frac{\sqrt{7}}{2}$）．…（14分）
所以存在點P滿足題意，其坐標為（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{7}}{2}$），（$\frac{1}{2}$，-$\frac{\sqrt{7}}{2}$）．…（15分）

點評 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，考查圓的標準方程，是一道中檔題．