Question

2．已知實數(shù)x，y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}{x-y+2≤0}\\{x+y-7≤0}\\{x-1≥0}\\{\;}\end{array}\right.$，則Z=$\frac{y+x}{x}$的取值范圍為（　�。�

• A． [$\frac{14}{5}$，7]
• B． [4，7]
• C． [$\frac{14}{5}$，4]
• D． [7，+∞）

Answer 1

分析 作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用直線斜率的幾何意義進行求解即可．

解答 解：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖，
Z=$\frac{y+x}{x}$=$\frac{y}{x}$+1
設(shè)k=$\frac{y}{x}$，在k的幾何意義是區(qū)域內(nèi)的點到原點的斜率，
由圖象知OA的斜率最大，OB的斜率最小，
由$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{x+y-7=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=6}\end{array}\right.$，得A（1，6），此時k=6，
由$\left\{\begin{array}{l}{x-y+2=0}\\{x+y-7=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{5}{2}}\\{y=\frac{9}{2}}\end{array}\right.$，即B（$\frac{5}{2}$，$\frac{9}{2}$），
此時k=$\frac{\frac{9}{2}}{\frac{5}{2}}$=$\frac{9}{5}$，$\frac{9}{5}$≤k≤6，
則$\frac{14}{5}$≤k+1≤7，
即Z=$\frac{y+x}{x}$的取值范圍為[$\frac{14}{5}$，7]，
故選：A

點評 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用目標函數(shù)的幾何意義結(jié)合兩點間的斜率公式進行轉(zhuǎn)化求解是解決本題的關(guān)鍵．