Question

20．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，已知acosC+ccosA=2bcosA．
（Ⅰ）求角A的值；
（Ⅱ）若a=1，求b+c的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用正弦定理以及兩角和與差的三角函數(shù)化簡(jiǎn)acosC+ccosA=2bcosA，結(jié)合三角形的內(nèi)角和，求解A即可．
（Ⅱ）通過(guò)余弦定理以及基本不等式求出b+c的范圍，再利用三角形三邊的關(guān)系求出b+c的范圍．

解答 （本題滿(mǎn)分為12分）
解：（Ⅰ）在△ABC中，因?yàn)閍cosC+ccosA=2bcosA，
所以sinAcosC+sinCcosA=2sinBcosA，即sin（A+C）=2sinBcosA．
因?yàn)锳+B+C=π，
所以sin（A+C）=sinB．
從而sinB=2sinBcosA．…（4分）
因?yàn)閟inB≠0，
所以cosA=$\frac{1}{2}$．
因?yàn)?＜A＜π，
所以A=$\frac{π}{3}$．…（7分）
（Ⅱ）由余弦定理得，a²=b²+c²-2bccosA，
則1=b²+c²-bc，
∴（b+c）²-3bc=1，
即3bc=（b+c）²-1≤3[$\frac{1}{2}$（b+c）]2，
化簡(jiǎn)得，（b+c）²≤4（當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)取等號(hào)），
則b+c≤2，又b+c＞a=1，
綜上得，b+c的取值范圍是（1，2]．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查正弦定理與余弦定理的應(yīng)用，兩角和的正弦公式，三角形的邊角關(guān)系式，以及基本不等式求最值，考查分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．