Question

【題目】已知函數.

（1）求函數的單調區(qū)間；

（2）如果對于任意的， 恒成立，求實數的取值范圍；

（3）設函數， ，過點作函數的圖象的所有切線，令各切點的橫坐標按從小到大構成數列，求數列的所有項之和的值.

Answer 1

【答案】（1）增區(qū)間為；減區(qū)間為.（2）（3）

【解析】試題分析：（1）求單調區(qū)間則根據導數解不等式即可（2）令 要使恒成立，只需當時， 分析函數單調性求出最小值解不等式即可（2） 設切點坐標為，則切線斜率為從而切線方程為 代入M，令， ，這兩個函數的圖象均關于點對稱，則它們交點的橫坐標也關于對稱，從而所作的所有切線的切點的橫坐標構成數列的項也關于成對出現(xiàn)根據此規(guī)律即可分析得解

試題解析：

⑴

的增區(qū)間為；減區(qū)間為.

⑵令

要使恒成立，只需當時，

令，則對恒成立

在上是增函數，則

①當時， 恒成立， 在上為增函數

， 滿足題意；

②當時， 在上有實根, 在上是增函數

則當時， ， 不符合題意；

③當時， 恒成立， 在上為減函數，

不符合題意

，即.

⑶

設切點坐標為，則切線斜率為

從而切線方程為

令， ，這兩個函數的圖象均關于點對稱，則它們交點的橫坐標也關于對稱，從而所作的所有切線的切點的橫坐標構成數列的項也關于成對出現(xiàn)，又在共有1008對，每對和為.

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