Question

16．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$滿足|$\overrightarrow$|=2|$\overrightarrow{a}$|，a，b的夾角為$\frac{π}{3}$，則$\overrightarrow$-$\overrightarrow{a}$與2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$的夾角θ為（　　）

• A． $\frac{π}{6}$
• B． $\frac{π}{3}$
• C． $\frac{2π}{3}$
• D． $\frac{5π}{6}$

Answer 1

分析 假設(shè)|$\overrightarrow{a}$|=1，求出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$，計(jì)算（$\overrightarrow-\overrightarrow{a}$）²，（2$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$）²，（$\overrightarrow-\overrightarrow{a}$）•（2$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$），得出|$\overrightarrow-\overrightarrow{a}$|，|2$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$|，代入向量的夾角公式計(jì)算．

解答 解：設(shè)$|\overrightarrow{a}|$=1，則$|\overrightarrow|$=2，∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=1×2×cos$\frac{π}{3}$=1．
∴（$\overrightarrow-\overrightarrow{a}$）²=${\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=3，（2$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$）²=4${\overrightarrow{a}}^{2}$+${\overrightarrow}^{2}$+4$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=12，
（$\overrightarrow-\overrightarrow{a}$）•（2$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$）=-2${\overrightarrow{a}}^{2}$+${\overrightarrow}^{2}$+$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=3，
∴|$\overrightarrow-\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{3}$，|2$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$|=2$\sqrt{3}$，
∴cosθ=$\frac{3}{\sqrt{3}×2\sqrt{3}}$=$\frac{1}{2}$．
∴θ=$\frac{π}{3}$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，屬于中檔題．