Question

【題目】已知函數(shù)，其中，為自然對數(shù)的底數(shù). 設(shè)是的導(dǎo)函數(shù).

（Ⅰ）若時，函數(shù)在處的切線經(jīng)過點(diǎn)，求的值；

（Ⅱ）求函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅲ）若，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）1（Ⅱ）詳見解析（Ⅲ）

【解析】

（I）時，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求得切線斜率，切點(diǎn)坐標(biāo) ，即可求解切線的方程，進(jìn)而求解得值；

（II）求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)在單調(diào)遞增，轉(zhuǎn)化為 ，分類討論，即可求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅲ）由得：，得，由已知，設(shè)為在區(qū)間內(nèi)的一個零點(diǎn)，則由可知在區(qū)間上至少有三個單調(diào)區(qū)間，得到在區(qū)間內(nèi)存在零點(diǎn)，在區(qū)間內(nèi)也存在零點(diǎn).則在區(qū)間內(nèi)至少有兩個零點(diǎn)，由（II）可知，列出不等式組，即可求解.

（I）時，，，

∴切線斜率，切點(diǎn)坐標(biāo) ∴切線方程

∵切線經(jīng)過點(diǎn)，∴ ∴

（II）∵ ∴.

∵在單調(diào)遞增，∴

，即時，，所以單調(diào)遞增區(qū)間為

②當(dāng)，即時，，所以單調(diào)遞減區(qū)間為

③當(dāng)時，令，得，

令，得，令，得，

∴函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為

綜上①②③可得：

當(dāng)時，單調(diào)遞增區(qū)間為；

當(dāng)時，單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；

當(dāng)時，單調(diào)遞減區(qū)間為.

（Ⅲ）由得：，∴

由已知，設(shè)為在區(qū)間內(nèi)的一個零點(diǎn)，

則由可知，在區(qū)間上至少有三個單調(diào)區(qū)間．

∴在區(qū)間內(nèi)存在零點(diǎn)，在區(qū)間內(nèi)也存在零點(diǎn).

∴在區(qū)間內(nèi)至少有兩個零點(diǎn)．

由（II）可知，

當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，故在內(nèi)至多有一個零點(diǎn)，不合題意.

當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，故在內(nèi)至多有一個零點(diǎn)，不合題意．

∴，

此時在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增

∴

∵ ∴

令，∵ ∴，

令

∵，令得；令得；

∴在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.

∴在恒成立.

即在時恒成立.

∴由得，∴ ∴

∴的取值范圍是．