Question

13．數(shù)列{a_n}通項a_n=2-（$\frac{x+3}{x}$）ⁿ，若$\underset{lim}{n→∞}$a_n=2，則x的取值范圍是（　�。�

• A． （0，-$\frac{3}{2}$]
• B． （0，-$\frac{3}{2}$）
• C． （-∞，-$\frac{3}{2}$）
• D． （-∞，-$\frac{3}{2}$]

Answer 1

分析 由$\underset{lim}{n→∞}$a_n=2，得$\underset{lim}{n→∞}（1+\frac{3}{x}）^{n}=0$，可得-1$＜1+\frac{3}{x}＜1$，求解分式不等式組得答案．

解答 解：由a_n=2-（$\frac{x+3}{x}$）ⁿ，且$\underset{lim}{n→∞}$a_n=2，得：
$\underset{lim}{n→∞}[2-（1+\frac{3}{x}）^{n}]$=$\underset{lim}{n→∞}2-\underset{lim}{n→∞}（1+\frac{3}{x}）^{n}=2$，
∴$\underset{lim}{n→∞}（1+\frac{3}{x}）^{n}=0$，則-1$＜1+\frac{3}{x}＜1$，解得：x$＜-\frac{3}{2}$．
∴x的取值范圍是（-∞，-$\frac{3}{2}$）．
故選：C．

點評 本題考查極限及其運算，是基礎的計算題．