Question

13．（1）已知函數(shù)f（x）=|x+2a|+|x-$\frac{2}{a}$|≥5（a＞0）對任意x∈R恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）求函數(shù)g（x）=3$\sqrt{x-3}$+4$\sqrt{4-x}$的最大值及g（x）取最大值時x的值．

Answer 1

分析 （1）利用絕對值不等式性質公式求解即可；
（2）利用柯西不等式求解，并判斷等號成立的條件．

解答 解：（1）∵a＞0，
∴|x+2a|+|x-$\frac{2}{a}$|≥|（x+2a）-（x-$\frac{2}{a}$）|=2a+$\frac{2}{a}$≥5，
∴0＜a$≤\frac{1}{2}$或a≥2．
（2）g（x）=3$\sqrt{x-3}$+4$\sqrt{4-x}$≤$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}\sqrt{（{\sqrt{x-3}）}^{2}+（\sqrt{4-x}）^{2}}$=5，
當且僅當4$\sqrt{x-3}$=3$\sqrt{4-x}$時，即x=$\frac{84}{25}$時等號成立，
故當x=$\frac{84}{25}$時，g（x）有最大值5．

點評 本題考查絕對值不等式的性質、柯西不等式的應用，難點是學生的運算求解能力．