Question

17．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosφ}\\{y=sinφ}\end{array}\right.$（φ為參數(shù)），在以O(shè)為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C₂是圓心為（3，$\frac{π}{2}$），半徑為1的圓．
（Ⅰ）求曲線C₁，C₂的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）設(shè)M為曲線C₁上的點，N為曲線C₂上的點，求|MN|的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）消去參數(shù)φ可得C₁的直角坐標(biāo)方程，易得曲線C₂的圓心的直角坐標(biāo)為（0，3），可得C₂的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）設(shè)M（2cosφ，sinφ），由三角函數(shù)和二次函數(shù)可得|MC₂|的取值范圍，結(jié)合圓的知識可得答案．

解答 解：（Ⅰ）消去參數(shù)φ可得C₁的直角坐標(biāo)方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1，
∵曲線C₂是圓心為（3，$\frac{π}{2}$），半徑為1的圓
曲線C₂的圓心的直角坐標(biāo)為（0，3），
∴C₂的直角坐標(biāo)方程為x²+（y-3）²=1；
（Ⅱ）設(shè)M（2cosφ，sinφ），則|MC₂|=$\sqrt{（2cosφ）^{2}+（sinφ-3）^{2}}$
=$\sqrt{4co{s}^{2}φ+si{n}^{2}φ-6sinφ+9}$=$\sqrt{-3si{n}^{2}φ-6sinφ+13}$
=$\sqrt{-3（sinφ+1）^{2}+16}$，
∴-1≤sinφ≤1，∴由二次函數(shù)可知2≤|MC₂|≤4，
由題意結(jié)合圖象可得|MN|的最小值為2-1=1，最大值為4+1=5，
∴|MN|的取值范圍為[1，5]

點評 本題考查橢圓的參數(shù)方程，涉及圓的知識和極坐標(biāo)方程，屬中檔題．