Question

8．已知兩個不相等的非零向量$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$，兩組向量$\overrightarrow{{x}_{1}}，\overrightarrow{{x}_{2}}，\overrightarrow{{x}_{3}}，\overrightarrow{{x}_{4}}，\overrightarrow{{x}_{5}}$和$\overrightarrow{{y}_{1}}，\overrightarrow{{y}_{2}}，\overrightarrow{{y}_{3}}，\overrightarrow{{y}_{4}}，\overrightarrow{{y}_{5}}$均由2個$\overrightarrow{a}$和3個$\overrightarrow$排成一列而成．記$\overrightarrow{{x}_{1}}•\overrightarrow{{y}_{1}}+\overrightarrow{{x}_{2}}•\overrightarrow{{y}_{2}}+\overrightarrow{{x}_{3}}•\overrightarrow{{y}_{3}}+\overrightarrow{{x}_{4}}•\overrightarrow{{y}_{4}}+\overrightarrow{{x}_{5}•\overrightarrow{{y}_{5}}}$，S_min表示S所有可能取值中的最小值，則下列正確的是（　　）

• A． ${S_{min}}={a^2}+2ab+2{b^2}$
• B． ${S_{min}}=2{a^2}+3{b^2}$
• C． 若$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$，則S_min與|$\overrightarrow{a}$|無關
• D． S有5個不同的值

Answer 1

分析 依題意，可求得S有三種結(jié)果，${S}_{1}=2{\overrightarrow{a}}^{2}+3{\overrightarrow}^{2}$，${S}_{2}={\overrightarrow{a}}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow+2{\overrightarrow}^{2}$，${S}_{3}=4\overrightarrow{a}•\overrightarrow+{\overrightarrow}^{2}$，可判斷①錯誤；進一步分析有S₁-S₂=S₂-S₃=${\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow$≥${\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow}^{2}-2|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|$=$（|\overrightarrow{a}|-|\overrightarrow|）^{2}≥0$，即S中最小為S₃，再對A、B、C逐一分析得答案．

解答 解：∵x_i，y_i（i=1，2，3，4，5）均由2個a和3個b排列而成，
∴S可能情況有以下三種：
${S}_{1}=2{\overrightarrow{a}}^{2}+3{\overrightarrow}^{2}$，${S}_{2}={\overrightarrow{a}}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow+2{\overrightarrow}^{2}$，${S}_{3}=4\overrightarrow{a}•\overrightarrow+{\overrightarrow}^{2}$，故D錯誤；
∵S₁-S₂=S₂-S₃=${\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow$≥${\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow}^{2}-2|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|$=$（|\overrightarrow{a}|-|\overrightarrow|）^{2}≥0$，
∴S中最小為S₃，
若$\overrightarrow{a}∥\overrightarrow$，則S_min=S₃=$4\overrightarrow{a}•\overrightarrow+{\overrightarrow}^{2}$，∴A，B錯誤；
若$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$，則S_min=${S}_{3}={\overrightarrow}^{2}$，與$|\overrightarrow{a}|$無關，與$|\overrightarrow|$有關，故C正確．
故選：C．

點評 本題考查命題的真假判斷與應用，著重考查平面向量的數(shù)量積的綜合運用，考查推理、分析與運算能力，是中檔題．