【題目】設(shè)為實數(shù),函數(shù).

(1)求證: 不是上的奇函數(shù);

(2)若上的單調(diào)函數(shù),求實數(shù)的值;

(3)若函數(shù)在區(qū)間上恰有3個不同的零點,求實數(shù)的取值范圍.

【答案】(1)證明見解析;(2);(3).

【解析】試題分析:(1)由無解,即可得結(jié)論;(2)分三種情況討論,結(jié)合二次函數(shù)的圖像及單調(diào)性,排除不合題意的值即可.(3)三種情況分別結(jié)合函數(shù)單調(diào)性判斷出函數(shù)零點個數(shù),即可得出結(jié)果.

試題解析:(1)假設(shè)上的奇函數(shù),

則對任意的,都有 (*)

,得,即,解得,

此時,所以,從而

這與(*)矛盾,所以假設(shè)不成立,所以不是上的奇函數(shù);

(2),

①當時,對稱軸,所以上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,不符;

②當時,對稱軸,所以上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,不符;

③當時,對稱軸,所以上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞減,所以上的單調(diào)減函數(shù).

綜上,

(3)①當時,由(2)知, 上的單調(diào)減函數(shù),至多1個零點,不符;

②當時,由(2)知, ,所以上單調(diào)遞減,

所以上至多1個零點,不符;

③當時,由(2)知, ,所以上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.

因為在區(qū)間上恰有3個零點,

所以

,解得,又,故,綜上,實數(shù)的取值范圍是

練習冊系列答案
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