Question

17．在如圖所示的四棱錐E-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AB⊥AD，CD⊥AD，且AB=AD=$\frac{1}{2}$CD=2，側面BEC為正三角形，且平面BEC⊥平面ABCD．
（1）在CD上是否存在一點F，使得BC∥平面AEF；
（2）求直線AE與平面BEC所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）CD的中點F，使得BC∥平面AEF，利用已知條件結合線面平行的判定即可證明；
（2）取BC中點O，由側面BEC為正三角形，得EO⊥BC，又平面BEC⊥平面ABCD，可得EO⊥平面ABCD，在平面ABCD內，過O作Ox∥AB，作Oy⊥AB，建立如圖所示空間直角坐標系，利用$\overrightarrow{EA}$與平面BEC的法向量所成角的余弦值可得直線AE與平面BEC所成角的正弦值．

解答 解：（1）如圖，CD的中點F，使得BC∥平面AEF．
事實上：∵底面ABCD為直角梯形，且AB⊥AD，CD⊥AD，
∴AB∥CD，又AB=$\frac{1}{2}$CD，
∴取CD中點F，連接AF，EF，則AB=FC，
∴四邊形ABCF為平行四邊形，則BC∥AF，
又AF?平面AEF，BC?平面AEF，
∴BC∥平面AEF；
（2）取BC中點O，∵側面BEC為正三角形，
∴EO⊥BC，又平面BEC⊥平面ABCD，
∴EO⊥平面ABCD，
在平面ABCD內，過O作Ox∥AB，作Oy⊥AB，建立如圖所示空間直角坐標系．
∵AB=AD=$\frac{1}{2}$CD=2，∴BC=$2\sqrt{2}$，則OE=$\sqrt{6}$，
∴O（0，0，0），E（0，0，$\sqrt{6}$），B（1，1，0），A（3，1，0）．
則$\overrightarrow{EA}=（3，1，-\sqrt{6}）$，$\overrightarrow{OE}=（0，0，\sqrt{6}）$，$\overrightarrow{OB}=（1，1，0）$．
設平面BEC的一個法向量為$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$，
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{OB}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{OE}=0}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{x+y=0}\\{\sqrt{6}z=0}\end{array}\right.$，取y=-1，則x=1．
∴$\overrightarrow{n}=（1，-1，0）$．
設直線AE與平面BEC所成角為θ，
則sinθ=|cos＜$\overrightarrow{EA}，\overrightarrow{n}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{EA}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{EA}||\overrightarrow{n}|}$|=|$\frac{3×1-1×1}{\sqrt{{3}^{2}+{1}^{2}+（-\sqrt{6}）^{2}}•\sqrt{2}}$|=$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

點評 本題考查直線與平面平行的判定，考查空間想象能力和思維能力，訓練了利用空間向量求解線面角問題，是中檔題．