Question

10．向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow$滿足$\overrightarrow{a}$⊥（$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow$），則“|$\overrightarrow{a}$|＞1”是“$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$≤-1”的既不充分也不必要條件．

Answer 1

分析 先根據(jù)向量垂直得到$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=-$\frac{1}{3}$|$\overrightarrow{a}$|²，再分別根據(jù)充分必要條件的經(jīng)行判斷即可．

解答 解：∵向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow$滿足$\overrightarrow{a}$⊥（$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow$），
∴$\overrightarrow{a}$•（$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow$）=$\overrightarrow{a}$²+3$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=0，
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=-$\frac{1}{3}$|$\overrightarrow{a}$|²，
由|$\overrightarrow{a}$|＞1，
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$＜-$\frac{1}{3}$，
故由“|$\overrightarrow{a}$|＞1”推不出“$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$≤-1”，
由$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$≤-1，
∴-$\frac{1}{3}$|$\overrightarrow{a}$|²≤-1，
即|$\overrightarrow{a}$|²≥3，
∴|$\overrightarrow{a}$|≥$\sqrt{3}$，
故由“$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$≤-1”推不出“|$\overrightarrow{a}$|＞1”．
故“|$\overrightarrow{a}$|＞1”是“$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$≤-1”的既不充分也不必要條件，
故答案為：既不充分也不必要

點評 本題考查了向量的數(shù)量積運算以及向量垂直的條件和充分必要條件的判斷，屬于中檔題．