Question

20．如圖，在棱長為2的正方體ABCD一A₁B₁C₁D₁中，點E，F(xiàn)，G分別是邊AB，BC，AA₁上的點，記AE=x，BF=y，A₁G=z，
（1）若x=y=z=1，記平面EFG與邊CC₁的交點為H，求異面直線A₁E與DH所成的角；（2）若x+y=2，求證：截面EFG⊥平面BDD₁B₁；
（3）若x=z，且y=1，求三棱錐B₁-GEF的體積的最小值．

Answer 1

分析 （1）若x=y=z=1，平面EFG與邊CC₁的交點H為CC₁的中點，取CD的中點O，則A₁E∥D₁O，即可求異面直線A₁E與DH所成的角；
（2）若x+y=2，則BE=BF，證明EF⊥平面BDD₁B₁，即可證明截面EFG⊥平面BDD₁B₁；
（3）三棱錐B₁-GEF的體積=三棱錐F-GEB₁的體積=$\frac{1}{3}$${S}_{△GE{B}_{1}}$•BF，求出${S}_{△GE{B}_{1}}$的最小值，即可求三棱錐B₁-GEF的體積的最小值．

解答 （1）解：由題意，平面EFG與邊CC₁的交點H為CC₁的中點，取CD的中點O，則A₁E∥D₁O，
正方形CDD₁C₁中，△D₁DO≌△DCH，∴∠OD₁D=∠HDC，∴DH⊥D₁O
∴DH⊥A₁E，
∴異面直線A₁E與DH所成的角為90°；
（2）證明：x+y=2，則BE=BF，∴EF⊥BD，
∵EF⊥D₁D，D₁D∩BD=D，
∴EF⊥平面BDD₁B₁，
∵EF?截面EFG，
∴截面EFG⊥平面BDD₁B₁；
（3）解：三棱錐B₁-GEF的體積=三棱錐F-GEB₁的體積=$\frac{1}{3}$${S}_{△GE{B}_{1}}$•BF．
${S}_{△GE{B}_{1}}$=4-$\frac{1}{2}•2•x$-$\frac{1}{2}•x•（2-x）$-$\frac{1}{2}•2•（2-x）$=$\frac{1}{2}（x-1）^{2}+\frac{3}{2}$，
∴x=1時，${S}_{△GE{B}_{1}}$的最小值為$\frac{3}{2}$，
∴三棱錐B₁-GEF的體積的最小值為$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查異面直線A₁E與DH所成的角，考查平面與平面垂直，考查三棱錐B₁-GEF的體積，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．