Question

4．已知函數(shù)f（x）=x²-lnx．
（Ⅰ）求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）設(shè)g（x）=x²-x+t，若函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）在$[\frac{1}{e}，e]$上（這里e≈2.718）恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到f′（1）和f（1）的值，代入直線方程即可；
（Ⅱ）問題等價(jià)于t=x-lnx在$[\frac{1}{e}，e]$上恰有兩個(gè)不同的實(shí)根，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出t的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)定義域?yàn)椋?，+∞），
f′（x）=2x-$\frac{1}{x}$，∴f′（1）=1，
又f（1）=1，∴所求切線方程為y-1=x-1，
即：x-y=0；
（Ⅱ）函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）=-lnx+x-t在$[\frac{1}{e}，e]$上恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，
等價(jià)于-lnx+x-t=0在$[\frac{1}{e}，e]$上恰有兩個(gè)不同的實(shí)根，
等價(jià)于t=x-lnx在$[\frac{1}{e}，e]$上恰有兩個(gè)不同的實(shí)根，
令k（x）=x-lnx，則$k'（x）=1-\frac{1}{x}=\frac{x-1}{x}$，
∴當(dāng)$x∈（\frac{1}{e}，1）$時(shí)，k′（x）＜0，∴k（x）在$（\frac{1}{e}，1）$遞減；
當(dāng)x∈（1，e]時(shí)，k′（x）＞0，∴k（x）在（1，e]遞增，
故k_min（x）=k（1）=1，又$k（\frac{1}{e}）=\frac{1}{e}+1，k（e）=e-1$，
∵$k（\frac{1}{e}）-k（e）=2-e+\frac{1}{e}＜0$，
∴$k（\frac{1}{e}）＜k（e）$，∴$k（1）＜t≤k（\frac{1}{e}）$，
即$t∈（1，1+\frac{1}{e}]$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了曲線的切線方程，考查函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查參數(shù)分離，是一道中檔題．