Question

15．已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的左頂點和上頂點分別為A、B，左、右焦點分別是F₁，F(xiàn)₂，在線段AB上有且只有一個點P滿足PF₁⊥PF₂，則橢圓的離心率為（　�。�

• A． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{3}-1}}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{5}}}{3}$
• D． $\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}$

Answer 1

分析 由題意可求得AB的方程，設(shè)出P點坐標(biāo)，代入AB的方程，由PF₁⊥PF₂，得$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0，運用導(dǎo)數(shù)求得極值點，結(jié)合橢圓的離心率公式，解方程即可求得答案．

解答 解：依題意，作圖如下：
由A（-a，0），B（0，b），F(xiàn)₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），
可得直線AB的方程為：$\frac{x}{-a}$+$\frac{y}$=1，整理得：bx-ay+ab=0，
設(shè)直線AB上的點P（x，y），則bx=ay-ab，
x=$\frac{a}$y-a，
由PF₁⊥PF₂，
∴$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=（-c-x，-y）•（c-x，-y）=x²+y²-c²
=（$\frac{a}$y-a）²+y²-c²，
令f（y）=（$\frac{a}$y-a）²+y²-c²，
則f′（y）=2（$\frac{a}$y-a）•$\frac{a}$+2y，
由f′（y）=0得：y=$\frac{{a}^{2}b}{{a}^{2}+^{2}}$，于是x=-$\frac{a^{2}}{{a}^{2}+^{2}}$，
∴$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=（-$\frac{a^{2}}{{a}^{2}+^{2}}$）²+（$\frac{{a}^{2}b}{{a}^{2}+^{2}}$）²-c²=0，
整理得：$\frac{{a}^{2}^{2}}{{a}^{2}+^{2}}$=c²，又b²=a²-c²，e²=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$，
∴e⁴-3e²+1=0，
∴e²=$\frac{3±\sqrt{5}}{2}$，又橢圓的離心率e∈（0，1），
∴e²=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$=（$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$）²，
可得e=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
另解：由題意可得，直線AB與圓O：x²+y²=c²相切，
可得d=$\frac{ab}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=c，
又b²=a²-c²，e²=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$，
∴e⁴-3e²+1=0，
∴e²=$\frac{3±\sqrt{5}}{2}$，又橢圓的離心率e∈（0，1），
∴e²=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$=（$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$）²，
可得e=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
故選：D．

點評 本題考查橢圓的性質(zhì)，向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，考查直線的方程的運用，著重考查橢圓離心率，以及化簡整理的運算能力，屬于中檔題．