Question

14．?dāng)?shù)列{a_n}，{b_n}滿(mǎn)足 $\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n+1}=\frac{1}{2}{a}_{n}+\frac{1}{2}_{n}}\\{\frac{1}{_{n+1}}=\frac{1}{2}•\frac{1}{{a}_{n}}+\frac{1}{2}•\frac{1}{_{n}}}\end{array}\right.$，a₁＞0，b₁＞0；
（1）求證：{a_n•b_n}是常數(shù)列；
（2）若{a_n}是遞減數(shù)列，求a₁與b₁的關(guān)系；
（3）設(shè)a₁=4，b₁=1，c_n=log₃$\frac{{a}_{n}+2}{{a}_{n}-2}$，求{c_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析 （1）化簡(jiǎn)可得b_n+1=2$\frac{{a}_{n}_{n}}{{a}_{n}+_{n}}$，從而可得a_n+1b_n+1=$\frac{1}{2}$（a_n+b_n）•2$\frac{{a}_{n}_{n}}{{a}_{n}+_{n}}$=a_nb_n，從而證明；
（2）由題意知a_n+1=$\frac{1}{2}$a_n+$\frac{1}{2}$b_n＜a_n，從而求得；
（3）化簡(jiǎn)可得a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{2}$+$\frac{2}{{a}_{n}}$，從而可得$\frac{{a}_{n+1}+2}{{a}_{n+1}-2}$=$\frac{\frac{{a}_{n}}{2}+\frac{2}{{a}_{n}}+2}{\frac{{a}_{n}}{2}+\frac{2}{{a}_{n}}-2}$=$\frac{{{a}_{n}}^{2}+4{a}_{n}+4}{{{a}_{n}}^{2}-4{a}_{n}+4}$=（$\frac{{a}_{n}+2}{{a}_{n}-2}$）²，從而可得數(shù)列{c_n}是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，從而求得．

解答 解：（1）證明：∵$\frac{1}{_{n+1}}$=$\frac{1}{2}$$\frac{1}{{a}_{n}}$+$\frac{1}{2}$$\frac{1}{_{n}}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{{a}_{n}+_{n}}{{a}_{n}_{n}}$），
∴b_n+1=2$\frac{{a}_{n}_{n}}{{a}_{n}+_{n}}$，
∴a_n+1b_n+1=$\frac{1}{2}$（a_n+b_n）•2$\frac{{a}_{n}_{n}}{{a}_{n}+_{n}}$=a_nb_n，
∴{a_n•b_n}是常數(shù)列；
（2）∵{a_n}是遞減數(shù)列，
∴a_n+1=$\frac{1}{2}$a_n+$\frac{1}{2}$b_n＜a_n，
∴a_n＞b_n，
∴a₁＞b₁．
（3）∵a₁=4，b₁=1，∴a_n•b_n=4，
∴a_n+1=$\frac{1}{2}$a_n+$\frac{1}{2}$b_n=$\frac{1}{2}$a_n+$\frac{1}{2}$$\frac{4}{{a}_{n}}$=$\frac{{a}_{n}}{2}$+$\frac{2}{{a}_{n}}$，
∴$\frac{{a}_{n+1}+2}{{a}_{n+1}-2}$=$\frac{\frac{{a}_{n}}{2}+\frac{2}{{a}_{n}}+2}{\frac{{a}_{n}}{2}+\frac{2}{{a}_{n}}-2}$=$\frac{{{a}_{n}}^{2}+4{a}_{n}+4}{{{a}_{n}}^{2}-4{a}_{n}+4}$=（$\frac{{a}_{n}+2}{{a}_{n}-2}$）²，
∴l(xiāng)og₃$\frac{{a}_{n+1}+2}{{a}_{n+1}-2}$=log₃（$\frac{{a}_{n}+2}{{a}_{n}-2}$）²=2log₃$\frac{{a}_{n}+2}{{a}_{n}-2}$，
即c_n+1=2c_n，
又∵c₁=log₃$\frac{4+2}{4-2}$=1，
故數(shù)列{c_n}是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，
∴c_n=1•2^n-1=2^n-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列的性質(zhì)的判斷與應(yīng)用，同時(shí)考查了整體思想與構(gòu)造法的應(yīng)用，屬于中檔題．