Question

已知函數(shù)f（x）=log_ax，（a＞0且a≠1），F(xiàn)（x）=f（1+x）-f（1-x）．
（1）求函數(shù)F（x）的定義域；
（2）判斷F（x）的奇偶性，并說明理由；
（3）確定x為何值時，有F（x）＞0．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的判斷,函數(shù)的定義域及其求法

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：（1）函數(shù)F（x）的定義域是f（1+x）與f（1-x）的定義域的交集．即

1+x＞0 1-x＞0

，解此不等式組求出x范圍就是函數(shù)的定義域；
（2）根據函數(shù)奇偶性的定義進行證明即可．
（3）由F（x）＞0得log_a（x+1）-log_a（1-x）＞0，所以log_a（x+1）＞log_a（1-x），利用對數(shù)的單調性，討論底數(shù)a，得到x的范圍．

解答： 解：（1）由題得，F(xiàn)（x）=log_a（x+1）-log_a（1-x），
使F（x）解析式有意義的x范圍是使不等式組即

1+x＞0 1-x＞0

，解得-1＜x＜1，
所以函數(shù)F（x）的定義域為{x|-1＜x＜1}．
（2）函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，
因為：由（1）知函數(shù)f（x）的定義域關于原點對稱，
且F（-x）=log_a（-x+1）-log_a（1+x）=-log_a（1+x）+log_a（1-x）=-[log_a（1+x）-log_a（1-x）]=-f（x）
所以函數(shù)f（x）為奇函數(shù)．
（3）由F（x）＞0得log_a（x+1）-log_a（1-x）＞0，所以log_a（x+1）＞log_a（1-x），
①a＞1時，x+1＞1-x＞0解得0＜x＜1；
②0＜a＜1時，0＜x+1＜1-x解得-1＜x＜0．

點評：本題主要考查函數(shù)定義域的求法、函數(shù)奇偶性的判斷以及對數(shù)不等式的解法，屬于經常考查的題目．