Question

10．已知函數(shù)f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）+a （a∈R，a為常數(shù)）
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間；
（2）若f（x）在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]最小值為3，求a的值；
（3）若函數(shù)f（x）的圖象向左平移m（m＞0）個(gè)單位后，得到函數(shù)g（x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，求實(shí)數(shù)m的最小值．

Answer 1

分析 （1）由條件利用正弦函數(shù)的單調(diào)性和周期性，得出結(jié)論．
（2）由條件利用正弦函數(shù)的定義域和值域，求得a的最小值．
（3）利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的圖象的對(duì)稱(chēng)性，求得實(shí)數(shù)m的最小值．

解答 解：（1）對(duì)于函數(shù)f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）+a，它的最小正周期為T(mén)=$\frac{2π}{2}$=π，
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得kπ-$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{π}{3}$，故函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為[kπ-$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{π}{3}$]，k∈Z．
（2）在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上，2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，sin（2x-$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
f（x）的最小值為-1+a=3，求得a=4．
（3）若函數(shù)f（x）的圖象向左平移m（m＞0）個(gè)單位后，得到函數(shù)g（x）=2sin[2（x+m）-$\frac{π}{6}$]+a
=2sin（2x+2m-$\frac{π}{6}$）+a的圖象，根據(jù)所得圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，
可得2m-$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$，即m=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{3}$，k∈Z，
故實(shí)數(shù)m的最小值為$\frac{π}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查正弦函數(shù)的單調(diào)性和周期性，正弦函數(shù)的定義域和值域，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的圖象的對(duì)稱(chēng)性，屬于基礎(chǔ)題．