Question

3．如圖，點C是圓O直徑BE的延長線上一點，AC是圓O的切線，A為切點，∠ACB的平分線CD分別與AB、AE交于D、F．
（1）求證：AD=AF；
（2）若AB=AC，求$\frac{S{\;}_{△ACE}}{{S}_{△BCA}}$的值．

Answer 1

分析 （1）利用切線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)可得∠ADF=∠AFD，即可證明結(jié)論；
（2）利用等邊對等角∠B=∠ACB=∠EAC．由（I）得∠BAE=90°，∠B+∠AEB=∠B+∠ACE+∠EAC=3∠B=90°，即可得到∠B=30°．進而得到△ACE∽△BCA，即可求$\frac{S{\;}_{△ACE}}{{S}_{△BCA}}$的值．

解答 （1）證明：∵AC是⊙O的切線，∴∠B=∠EAC．
又∵DC是∠ACB的平分線，∴∠ACD=∠DCB，
∴∠B+∠DCB=∠EAC+∠ACD，∴∠ADF=∠AFD．
∴AD=AF．
（2）解：∵AB=AC，∴∠B=∠ACB=∠EAC．
由（1）得∠BAE=90°，∴∠B+∠AEB=∠B+∠ACE+∠EAC=3∠B=90°，
∴∠B=30°．
∵∠B=∠EAC，∠ACB=∠ACB，
∴△ACE∽△BCA，
∴$\frac{S{\;}_{△ACE}}{{S}_{△BCA}}$=$（\frac{AE}{AB}）^{2}=（tan\frac{π}{6}）^{2}=\frac{1}{3}$．

點評 熟練掌握圓的性質(zhì)、切線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)、弦切角定理、相似三角形的性質(zhì)等是解題的關(guān)鍵．