Question

如圖，已知⊙O₁與⊙O₂外切于點P，AB是兩圓的外公切線，A，B為切點，AB與O₁O₂ 的延長線相交于點C，延長AP交⊙O₂于點D，點E在AD延長線上．
（1）求證：△ABP是直角三角形；
（2）若AB•AC=AP•AE，試判斷AC與EC能否一定垂直？并說明理由．
（3）在（2）的條件下，若AP=4，PD=

9

4

，求

EC

AC

的值．

Answer 1

考點：與圓有關(guān)的比例線段

專題：立體幾何

分析：（1）過點P作兩圓公切線PN交AB于N，由切線長定理能證明△PAB為直角三角形．
（2）由AB•AC=AP•AE，得△PAB∽△CAE，能此推導出AC⊥EC．
（3）由切割線定理，AB²=AP•AD，由此能求出

EC

AC

=

3

4

．

解答： （1）證明：過點P作兩圓公切線PN交AB于N，
由切線長定理得：
NP=NA=NB，∴△PAB為直角三角形． …（3分）
（2）解：AC⊥EC．
理由如下：
∵AB•AC=AP•AE，
∴

AB

AP

=

AE

AC

，又∠PAB=∠EAC，
∴△PAB∽△CAE，
∴∠ECA=∠APB=90°，
即AC⊥EC．…（6分）
（3）解：由切割線定理，AB²=AP•AD，
∴AB=5，PB=3，PB：PA=3：4=EC：AC，
∴

EC

AC

=

3

4

．…（9分）

點評：本題考查直角三角形的證明，考查兩直線是否存在的判斷與求法，考查兩線段比值的求法，解題時要認真審題，注意切割線定理的合理運用．