Question

19．△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，若a=2，b=3，∠C=2∠A．
（I）求c的值；
（Ⅱ）求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （I）由已知及二倍角的正弦函數(shù)公式，正弦定理，余弦定理可得c=2acosA=2a•$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$，整理可得bc²=a（b²+c²-a²），代入a，b的值即可計(jì)算得解．
（Ⅱ）由余弦定理可求cosC，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求sinC，根據(jù)三角形面積公式即可計(jì)算得解．

解答 （本題滿分為12分）
解：（I）∵∠C=2∠A，a=2，b=3，
∴sinC=sin2A=2sinAcosA，
∵在△ABC中，由正弦定理$\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}$=$\frac{c}{2sinAcosA}$，
∴可得c=2acosA=2a•$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$，可得：bc²=a（b²+c²-a²），即：9=2（9+c²-4），
∴解得：c=$\sqrt{10}$…6分
（Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理cosC=$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{1}{4}$，可得sinC=$\sqrt{1-co{s}^{2}C}$=$\frac{\sqrt{15}}{4}$，
故S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{3\sqrt{15}}{4}$…12分

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了二倍角的正弦函數(shù)公式，正弦定理，余弦定理，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，三角形面積公式在解三角形中的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．