Question

10．已知函數(shù)f（x）=x-1+ae^x．
（1）若曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線平行于x軸，求a的值；
（2）求f（x）的極值；
（3）當(dāng)a=1時(shí)，曲線y=f（x）與直線y=kx-1沒(méi)有公共點(diǎn)，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)，由題意可知f′（1）=0，即可求得a的值；
（2）由（1）可知：分類討論，根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性及極值的關(guān)系，即可求得f（x）的極值；
（3）由題意可知g（x）=（1-k）x+e^x=0無(wú)實(shí)數(shù)解，求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)零點(diǎn)的判斷，即可求得k的取值范圍．

解答 解：（1）f（x）=x-1+ae^x．求導(dǎo)，f′（x）=1+ae^x．
由f′（1）=0，1+ae=0，解得：a=-$\frac{1}{e}$，
∴a的值-$\frac{1}{e}$；
（2）當(dāng)a≥0，f′（x）＞0恒成立，則f（x）在R上是增函數(shù)，無(wú)極值；
當(dāng)a＜0時(shí)，令f′（x）=0，則e^x=-$\frac{1}{a}$，x=ln（-$\frac{1}{a}$），
x＜ln（-$\frac{1}{a}$），f′（x）＞0；當(dāng)x＞ln（-$\frac{1}{a}$），f′（x）＜0，
∴f（x）在（-∞，ln（-$\frac{1}{a}$））上單調(diào)遞增，在（ln（-$\frac{1}{a}$），+∞）單調(diào)遞減，
f（x）在x=ln（-$\frac{1}{a}$）處取極大值，且極大值f（ln（-$\frac{1}{a}$））=-ln（-a）-2，無(wú)極小值；
（3）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=x-1+e^x．
令g（x）=f（x）-（kx-1）=（1-k）x+e^x，
由題意可知：g（x）=0無(wú)實(shí)數(shù)解，
假設(shè)k＜1，此時(shí)g（0）=1＞0，g（$\frac{1}{k-1}$）=-1+${e}^{\frac{1}{k-1}}$＜0，
由函數(shù)g（x）的圖象連續(xù)不斷，由函數(shù)零點(diǎn)存在定理g（x）=0在R上至少有一解，
與方程g（x）=0，在R上沒(méi)有實(shí)數(shù)解矛盾，故k≥1，
由k=1時(shí)，g（x）=e^x，可知方程g（x）=0在R上沒(méi)有實(shí)數(shù)解，
∴k的取值范圍[1，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性及極值，函數(shù)零點(diǎn)的判定，考查分類討論思想及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．