Question

11．若函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}-（{x+1}）•{e^x}，x≤a\\-2x-1，x＞a\end{array}$有最大值，則實數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A． $[{-\frac{1}{2}-\frac{1}{{2{e^2}}}，+∞}）$
• B． $[{-\frac{1}{{2{e^2}}}，+∞}）$
• C． [-2，+∞）
• D． $（{-2，-\frac{1}{2}-\frac{1}{{2{e^2}}}}]$

Answer 1

分析 由x＞a時，f（x）=-2x-1遞減，且無最大值，可得x≤a時，f（x）取得最大值M，且M≥-2a-1，求出x≤a時，f（x）的導(dǎo)數(shù)和單調(diào)區(qū)間、極大值，討論a＜-2，判斷單調(diào)性，可得最大值，解不等式判斷無解，則a≥-2，求出最大值，解不等式即可得到所求a的范圍．

解答 解：由x＞a時，f（x）=-2x-1遞減，可得f（x）＜-2a-1，無最大值，
函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}-（{x+1}）•{e^x}，x≤a\\-2x-1，x＞a\end{array}$有最大值，
可得x≤a時，f（x）取得最大值M，且M≥-2a-1，
由f（x）=-（x+1）•e^x的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=-（x+2）e^x，
可得x＞-2時，f′（x）＜0，f（x）遞減；x＜-2時，f′（x）＞0，f（x）遞增．
即有f（x）在x=-2處取得極大值，且為最大值e^-2．
若a＜-2，則f（x）在（-∞，a]遞增，可得f（x）≤f（a）=-（a+1）•e^a，
由題意可得-（a+1）•e^a≥-2a-1，
即有（a+1）•e^a-2a-1≤0，
由g（a）=（a+1）•e^a-2a-1的導(dǎo)數(shù)為g′（a）=（a+2）•e^a-2＜0，（a＜-2），
則g（a）在a＜-2遞減，可得g（a）＞g（-2）=-e^-2+3＞0，
則不等式（a+1）•e^a-2a-1≤0無實數(shù)解．
故a≥-2，可得x=-2處f（x）取得最大值，且為-e^-2，
由-e^-2≥-2a-1，
解得a≥-$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2{e}^{2}}$，
綜上可得，a的范圍是[-$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2{e}^{2}}$，+∞）．
故選：A．

點評 本題考查分段函數(shù)的最值問題，考查轉(zhuǎn)化思想，以及分類討論思想方法，注意運用導(dǎo)數(shù)，求出單調(diào)區(qū)間和極值、最值，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．