Question

已知函數(shù)，
（Ⅰ）當(dāng)m=2時(shí)，求f（x）的極大值；
（Ⅱ）當(dāng)m＞0時(shí)，討論f（x）在區(qū)間（0，1）上的單調(diào)性．

Answer 1

解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）．
當(dāng)m=2時(shí)，f（x）=lnx+-x，
--1=．
當(dāng)0＜x＜時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，當(dāng)＜x＜2時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，當(dāng)x＞2時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，
所以當(dāng)x=2時(shí)f（x）取得極大值f（2）=ln2-．
（Ⅱ）f′（x）=--1==．
①若0＜m＜1，則0＜m＜1＜．當(dāng)0＜x＜m時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；當(dāng)m＜x＜1時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；
②若m=1，f′（x）=＜0，f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減；
③若m＞1，則0＜＜1＜m，當(dāng)0＜x＜時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；當(dāng)＜x＜1時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；
綜上，當(dāng)0＜m＜1時(shí)，f（x）在（0，m）上是減函數(shù)，在（m，1）上是增函數(shù)；
當(dāng)m=1時(shí)，f（x）在（0，1）上是減函數(shù)；
當(dāng)m＞1時(shí)，f（x）在（0，）上是減函數(shù)，在（，1）上是增函數(shù)．
分析：（Ⅰ）m=2時(shí)，求出f′（x），f（x）的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)極值定義可求得極值；
（Ⅱ）求出f′（x），然后解含參數(shù)的不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0，注意討論m的范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、極值以及含參數(shù)的不等式的求解，本題滲透了分類討論思想．