Question

15．如圖，在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=4，AA₁=8，E為DD₁的中點．
（1）求異面直線B₁C與A₁C₁所成角的大��；（用反三角函數(shù)形式表示）
（2）求多面體D-BCB₁的體積．LF．

Answer 1

分析 （1）連接AC，則AC∥A₁C₁，故∠B₁CA為異面直線A₁C₁與B₁C所成的角，求出△AB₁C的三條邊，利用余弦定理計算∠B₁CA；
（2）直接代入棱錐的體積公式計算．

解答 解：（1）連接AC，則AC∥A₁C₁，
∴∠B₁CA為異面直線A₁C₁與B₁C所成的角，
∵AB=AD=4，AA₁=8，
∴AC=4$\sqrt{2}$，AB₁=B₁C=4$\sqrt{5}$．
∴cos∠B₁CA=$\frac{{B}_{1}{C}^{2}+A{C}^{2}-A{{B}_{1}}^{2}}{2{B}_{1}C•AC}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
∴異面直線B₁C與A₁C₁所成角的大小為$arccos\frac{{\sqrt{10}}}{10}$．
（2）V${\;}_{D-BC{B}_{1}}$=$\frac{1}{3}{S}_{△BC{B}_{1}}•CD$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×4×8×4$=$\frac{64}{3}$．

點評 本題考查了空間角的計算，棱錐的體積計算，屬于基礎題．