Question

7．已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，BC邊上的高為h，且h=a，則$\frac{c}$+$\frac{c}$+$\frac{{a}^{2}}{bc}$的最大值是（　�。�

• A． $\sqrt{2}$
• B． 2$\sqrt{2}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． 2$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 由余弦定理化簡(jiǎn)可得$\frac{c}$+$\frac{c}$+$\frac{{a}^{2}}{bc}$=$\frac{2{a}^{2}}{bc}$+2cosA，利用三角形面積公式可得a²=bcsinA，解得$\frac{c}$+$\frac{c}$+$\frac{{a}^{2}}{bc}$=2sinA+2cosA=2$\sqrt{2}$sin（A+$\frac{π}{4}$），利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可得解其最大值．

解答 解：由余弦定理可得：b²+c²=a²+2bccosA，
故$\frac{c}$+$\frac{c}$+$\frac{{a}^{2}}{bc}$=$\frac{{a}^{2}+^{2}+{c}^{2}}{bc}$=$\frac{{a}^{2}+{a}^{2}+2bccosA}{bc}$=$\frac{2{a}^{2}}{bc}$+2cosA，
而S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}ah$=$\frac{1}{2}$a²，
故a²=bcsinA，
所以：$\frac{c}$+$\frac{c}$+$\frac{{a}^{2}}{bc}$=$\frac{2{a}^{2}}{bc}$+2cosA=2sinA+2cosA=2$\sqrt{2}$sin（A+$\frac{π}{4}$）≤2$\sqrt{2}$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了余弦定理，三角形面積公式，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．