Question

19．經(jīng)過點(diǎn)P（$\frac{1}{2}$，0）且與雙曲線4x²-y²=1只有一個(gè)交點(diǎn)的直線有3條．

Answer 1

分析 分別討論過P的直線的斜率是否存在，利用代入法轉(zhuǎn)化為一元二次方程進(jìn)行判斷即可．

解答 解：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{\frac{1}{4}}$-y²=1，
若過P的直線斜率k不存在，此時(shí)直線方程為x=$\frac{1}{2}$與雙曲線有一個(gè)交點(diǎn)，滿足條件．
若斜率k存在，則直線方程為y=k（x-$\frac{1}{2}$），
代入4x²-y²=1得4x²-k²（x-$\frac{1}{2}$）²=1，
整理得（4-k²）x²+k²x-$\frac{{k}^{2}}{4}$-1=0，
若4-k²=0，得k=2或k=-2，此時(shí)方程等價(jià)為4x-2=0，x=$\frac{1}{2}$，滿足直線和雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，
若4-k²≠0，即k≠±2，若方程只有一個(gè)解，則判別式△=k⁴+4（4-k²）（1+$\frac{{k}^{2}}{4}$）=0，
即k⁴+（4-k²）（4+k²）=0，
即k⁴+16-k⁴=0，即16=0，此時(shí)方程不成立，
綜上滿足條件的直線有3條，
故答案為：3．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，在只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，不要忽視了與漸近線平行以及直線斜率不存在的情況．