Question

9．已知雙曲線的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別為左、右焦點(diǎn)，雙曲線的右支上有一點(diǎn)P，∠F₁PF₂=$\frac{π}{3}$，且△PF₁F₂的面積為2$\sqrt{3}$，又雙曲線的離心率為2，求該雙曲線的方程．

Answer 1

分析 根據(jù)點(diǎn)P是雙曲線的左支上的一點(diǎn)，及雙曲線的定義可知|PF₁|-|PF₂|=2a，由，∠F₁PF₂=$\frac{π}{3}$，且△PF₁F₂的面積為2$\sqrt{3}$，可以求得|PF₂|•|PF₁|的值，根據(jù)余弦定理可以求得a，c的一個(gè)方程，雙曲線的離心率為2，根據(jù)雙曲線的離心率的定義式，可以求得a，c的一個(gè)方程，解方程組即可求得該雙曲線的方程．

解答 解：設(shè)雙曲線方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0），
F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），P（x₀，y₀）．
在△PF₁F₂中，由余弦定理得，
|F₁F₂|²=|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁|•|PF₂|•cos$\frac{π}{3}$
=（|PF₁|-|PF₂|）²+|PF₁|•|PF₂|，
即4c²=4a²+|PF₁|•|PF₂|，
又S_△${\;}_{P{F}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$|PF₁|•|PF₂|•sin$\frac{π}{3}$=2$\sqrt{3}$，
即有|PF₁|•|PF₂|=8，
可得4c²=4a²+8，即b²=2，
又e=$\frac{c}{a}$=2，且c²=a²+b²，
解得a²=$\frac{2}{3}$．
則雙曲線的方程為$\frac{3{x}^{2}}{2}$-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1．

點(diǎn)評 本題考查雙曲線的定義和待定系數(shù)法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，及利用余弦定理解圓錐曲線的焦點(diǎn)三角形，解題過程注意整體代換的方法，簡化計(jì)算，屬于中檔題．