Question

12．已知橢圓Г：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的焦距為2c，左焦點(diǎn)為F，若直線y=x+c與橢圓交于A，B 兩點(diǎn)，且|AF|=3|FB|，則橢圓的離心率為（　　）

• A． $\frac{1}{4}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Answer 1

分析 聯(lián)立橢圓方程和直線方程，求得A，B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)，把|AF|=3|FB|化為縱坐標(biāo)的關(guān)系得答案．

解答 解：如圖，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=x+c}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1}\end{array}\right.$，得（a²+b²）y²-2b²cy-b⁴=0．
解得：$y=\frac{2^{2}c±\sqrt{（-2^{2}c）^{2}-4（{a}^{2}+^{2}）×（-^{4}）}}{2（{a}^{2}+^{2}）}$=$\frac{2^{2}c±\sqrt{8{a}^{2}^{4}}}{2（{a}^{2}+^{2}）}$，
即${y}_{B}=\frac{^{2}c-\sqrt{2}a^{2}}{{a}^{2}+^{2}}$，${y}_{A}=\frac{^{2}c+\sqrt{2}a^{2}}{{a}^{2}+^{2}}$．
∵|AF|=3|FB|，∴y_A=-3y_B，
則$\frac{^{2}c+\sqrt{2}a^{2}}{{a}^{2}+^{2}}=-3\frac{^{2}c-\sqrt{2}a^{2}}{{a}^{2}+^{2}}$，
∴$^{2}c+\sqrt{2}a^{2}=-3^{2}c+3\sqrt{2}a^{2}$，
即$4^{2}c=2\sqrt{2}a^{2}$，
∴$a=\sqrt{2}c$，
∴$\frac{c}{a}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，運(yùn)用了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．