Question

1．已知橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，短軸長為2．
（1）求橢圓E的方程；
（2）過圓C：x²+y²=r²（0＜r＜b）上的任意一點作圓C的切線l與橢圓E交于A，B兩點，都有OA⊥OB（O為坐標(biāo)原點），求r的值．

Answer 1

分析 （1）運用橢圓的離心率公式和短軸的概念，結(jié)合a，b，c的關(guān)系，解得a=2，b=1，可得橢圓方程；
（2）討論切線的斜率不存在和為0，求得A，B的坐標(biāo)，由垂直的條件可得r；證得圓x²+y²=$\frac{4}{5}$上任一點（m，n）的切線與橢圓的交點A，B，都有OA⊥OB．設(shè)出切線的方程，代入橢圓方程，運用韋達(dá)定理和兩直線垂直的條件，化簡整理，即可得到半徑r的值．

解答 解：（1）由題意可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，2b=2，即b=1，
a²-c²=b²=1，解得c=$\sqrt{3}$，a=2，
即有橢圓E的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（2）當(dāng)切線l的斜率不存在，即l：x=r時，
代入橢圓方程可得A（r，$\sqrt{1-\frac{{r}^{2}}{4}}$），B（（r，-$\sqrt{1-\frac{{r}^{2}}{4}}$），
由OA⊥OB，可得r²-（1-$\frac{{r}^{2}}{4}$）=0，解得r=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$；
當(dāng)當(dāng)切線l的斜率為0，即l：y=r時，
代入橢圓方程可得A（2$\sqrt{1-{r}^{2}}$，r），B（-2$\sqrt{1-{r}^{2}}$，r），
由OA⊥OB，可得r²-4（1-r²）=0，解得r=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$；
只要證得圓x²+y²=$\frac{4}{5}$上任一點（m，n）的切線與橢圓的交點A，B，
都有OA⊥OB．
由兩直線垂直的條件可得切線的方程為mx+ny=$\frac{4}{5}$（nm≠0），
聯(lián)立橢圓方程，消去y，可得（n²+4m²）x²-$\frac{32m}{5}$x+$\frac{64}{25}$-4n²=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），可得x₁+x₂=$\frac{32m}{5（{n}^{2}+4{m}^{2}）}$，x₁x₂=$\frac{64-100{n}^{2}}{25（{n}^{2}+4{m}^{2}）}$，
即有y₁y₂=$\frac{1}{{n}^{2}}$（$\frac{4}{5}$-mx₁）（$\frac{4}{5}$-mx₂）=$\frac{1}{{n}^{2}}$（$\frac{16}{25}$+m²x₁x₂-$\frac{4}{5}$m（x₁+x₂））
=$\frac{1}{{n}^{2}}$[$\frac{16}{25}$+m²•$\frac{64-100{n}^{2}}{25（{n}^{2}+4{m}^{2}）}$-$\frac{4}{5}$m•$\frac{32m}{5（{n}^{2}+4{m}^{2}）}$]=$\frac{16-100{m}^{2}}{25（{n}^{2}+4{m}^{2}）}$，
則x₁x₂+y₁y₂=$\frac{64-100{n}^{2}}{25（{n}^{2}+4{m}^{2}）}$+$\frac{16-100{m}^{2}}{25（{n}^{2}+4{m}^{2}）}$=$\frac{80-100（{m}^{2}+{n}^{2}）}{25（{n}^{2}+4{m}^{2}）}$
=$\frac{80-100×\frac{4}{5}}{25（{n}^{2}+4{m}^{2}）}$=0，即OA⊥OB．
故r=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

點評 本題考查橢圓方程的求法，注意運用橢圓的離心率公式，考查直線和圓相切，以及直線和橢圓聯(lián)立運用韋達(dá)定理和兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，考查化解在合理的運算能力，屬于中檔題．