Question

“a=2”是“?x∈（0，+∞），ax+

1

8x

≥1”的（　　）

• A、充分不必要條件
• B、必要不充分條件
• C、充要條件
• D、既不充分也不必要條件

Answer 1

考點(diǎn)：必要條件、充分條件與充要條件的判斷

專題：簡易邏輯

分析：a=2時(shí)根據(jù)基本不等式即可得到ax+

1

8x

≥1，而ax+

1

8x

≥1，所以a≥

1

x

-

1

8x2

，所以只要a大于等于

1

x

-

1

8x2

的最大值即可，設(shè)f（x）=

1

x

-

1

8x2

，通過求f′（x），便可求得f（x）的極大值，從而求出最大值為2，所以a≥2，所以由ax+

1

8x

得不到a=2，所以得到“a=2”是“?x∈（0，+∞），ax+

1

8x

≥1”的充分不必要條件．

解答： 解：（1）a=2時(shí)，ax+

1

8x

=2x++

1

8x

≥2

2x• 1 8x

=1；
即得到ax+

1

8x

≥1；
∴“a=2”是“?x∈（0，+∞），ax+

1

8x

≥1”的充分條件；
（2）?x∈（0，+∞），ax+

1

8x

≥1時(shí)，a≥

1

x

-

1

8x2

；
令f（x）=

1

x

-

1

8x2

，f′（x）=

1-4x

4x3

；
∴x∈(0，

1

4

)時(shí)，f′（x）＞0，x∈(

1

4

，+∞)時(shí)，f′（x）＜0；
∴f（

1

4

）=2是f（x）的極大值也是最大值；
∴a≥2；
∴“?x∈（0，+∞），ax+

1

8x

≥1”不一定得到a=2；
∴“a=2”不是“?x∈（0，+∞），ax+

1

8x

≥1”的必要條件；
綜上得“a=2”是“?x∈（0，+∞），ax+

1

8x

≥1”的充分不必要條件．
故選A．

點(diǎn)評(píng)：考查基本不等式：a+b≥2

ab

，a＞0，b＞0，以及函數(shù)極值和最值的概念，充分條件，必要條件，充分不必要條件的概念．